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\title{傅里叶级数}  % 文章标题
\author{洛白}   % 作者的名称
\date{\today}       % 当天日期
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
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假设$f$的$n$次积分为$I_{f}^{n}$,$n$次求导为$D_{f}^{n}$,那么存在：
$$\int f(x)g(x)\mathrm{d}x=\sum_{i=0}^{x_0-1}{(-1)^iI_{f}^{i+1}D_{g}^{i}}+(-1)^{x_0}\int{I_{f}^{x_0}D_{g}^{x_0}}\mathrm{d}x$$
而对于\textbf{傅里叶级数},我们有
$$a_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\mathrm{d}x$$
$$b_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\mathrm{d}x$$
显然我们可以使用上面提到的结论，下面给出两个例子
\subsection{可以求导求到0}
$$f(x)=x$$
\begin{equation}
    \begin{align}
        a(x)=&\int x\cos(nx)\mathrm{d}x
               \\=&\sum_{i=0}^{1}{(-1)^iI_{f}^{i+1}D_{g}^{i}}=\sum_{i=0}^{1}{(-1)^iD_{g}^{i}\cos[nx-\frac{\pi}{2}(i+1) ]\frac{1}{n^i} }
               \\=&1\frac{-\cos{(nx)}}{n^2}+x\frac{\sin{(nx)}}{n} 
       \end{align}
\end{equation}
接下来我们可以带入积分上下限 ,求解$a_n=0$
$$f(x)=x^2$$

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        a(x)=&\int x^2\cos(nx)\mathrm{d}x
        \\=&\sum_{i=0}^{2}{(-1)^iI_{f}^{i+1}D_{g}^{i}}=\sum_{i=0}^{2}{(-1)^iD_{g}^{i}\cos[nx-\frac{\pi}{2}(i+1) ]\frac{1}{n^i} }   
    \end{aligned}
\end{equation}
接下来我们可以带入积分上下限 ,求解$a_n$,
可以先给出$x_0$应该是几,从后往前写。
\subsection{不能求导求到0}
$$f(x)=e^{2x}$$
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        a(x)=&\int e^{2x}cos(nx)\mathrm{d}x
        \\=&\sum_{i=0}^{x_0-1}{(-1)^iI_{f}^{i+1}D_{g}^{i}}+(-1)^{x_0}\int{I_{f}^{x_0}D_{g}^{x_0}}\mathrm{d}x\\
=&\sum_{i=0}^{x_0-1}{(-1)^iD_{g}^{i}\cos[nx-\frac{\pi}{2}(i+1) ]\frac{1}{n^i} }+(-1)^{x_0}\int{I_{f}^{x_0}D_{g}^{x_0}}\mathrm{d}x\\   
    \end{aligned}
\end{equation}
取$x_0=3$,带入积分上下限 ,可求解$a_n$,
\end{document}